Примеры со знаком корня

Как внести множитель под знак корня? Теория, примеры, решения

примеры со знаком корня

Записываем пример в следующем виде: √(2×49)=√(2×7×7). . Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что. Примеры с объяснением, методы умножения с разложением на множители и без. Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. -ой степени, свойства степени с рациональным показателем, а так же правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из под .

Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа. Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1.

Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям: Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1.

Получим 1 и в остатке 1.

Сложение и вычитание квадратных корней: определение, примеры, правила

Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа нам не нужны. Если бы мы находили наибольший целый корень из с точностью до 1, то получили бы Разделив все эти числа наполучим: Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1: Такую дробь мы найдем в такой последовательности: Корень из целого числа будет 15 целых.

В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2то получили бы ; значит: Потом находят цифру десятых.

Для этого к остатку сносят ,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой если их нет, приписывают к остатку два нуляи продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых. Затем находят цифру сотых.

Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами.

Действие с корнями: сложение и вычитание

По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа или десятичной дробикоторое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.

Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Первая значащая цифра есть 8 десятых. Первая значащая цифра будет 5 тысячных. Корень этот может быть один из слелуюших: Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из это будут цифры 7, 5, 3, 7.

Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые только положение запятой будет, конечно, различное.

Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых по отбрасывании запятой одним и тем же рядом цифрбудут двоякого и только двоякого рода: То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр.

Поэтому, как мы сейчас увидим, в таблице каждому ряду цифр подкоренного числа соответствуют 2 ряда цифр для корней. Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования.

Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы.

  • Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
  • Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения
  • Решение примеров с корнями

Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень. В верхней горизонтальной строчке а также и в нижней размещены числа: Во всех других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел. Затем отбросим в данном числе запятую, если она.

В этом месте мы находим два четырехзначных числа: Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Таким образом мы легко найдем: Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного по отбрасывании запятой 4 цифрами, напр.

Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа так, как сейчас было объяснено, цифры это число только замечаем пальцем, но его не записываем. Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы за последнею жирною чертою не встретим ту вертикальную колонку, которая отмечена наверху и внизу 4-й цифрой данного числа.

примеры со знаком корня

Это будет поправка, которую надо приложить в уме к ранее найденному числу ; получим Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: Таким путем найдем, напр: Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа.

Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр. В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.

Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей.

Умножение корней: методы умножения, примеры с объяснением

В этом случае достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, напр.: Впрочем можно поступать и. Объясним это на следующем примере: Для этого достаточно было бы умножить оба члена дроби на знаменатель 24; но в этом примере можно поступить.

Разложим 24 на простые множители: Из этого разложения видно, что если 24 умножить на 2 и еще на 3, то тогда в произведении каждый простой множитель будет повторяться четное число раз, и, следовательно, знаменатель сделается квадратом: При этом надо иметь в виду, что от деления на 12 уменьшится и дробь, показывающая степень точности.

Пусть дано какое-нибудь уравнение, определяющее у как функцию от х, напр, такое: Разве это что-то даёт!? Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора! Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся!

Как извлекать корни из больших чисел? Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число и всё Да, произведения здесь. Но если нам надо - мы его сделаем!

примеры со знаком корня

Разложим это число на множители. Для начала сообразим, на что делится это число ровно?

Квадратный корень. Начальный уровень.

Идите в Особый разделтема "Дроби"там они. На 3 и на 9 делится это число. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему сейчас поймёте, почемуа вот на 9 поделим.

Хотя бы и уголком. Вот мы и нашли два множителя! Первый - девятка это мы сами выбралиа второй - такой уж получился. С числом поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. А это число мы знаем!

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и - вперёд! Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался.

Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт! Может и не повезти. Скажем, число при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат: Всё равно мы упростили выражение.

В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера может и без упрощения всё посокращаетсяа вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся. Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из сделали? Мы вынесли множители из-под знака корня!

Вот так называется эта операция. А то попадётся задание - "вынести множитель из-под знака корня" а мужики-то и не знают Вот вам ещё одно применение свойства корней. Как вынести множитель из-под корня? Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Важно правильно выбрать множители.

И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора!

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Перемножать всё - сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам: Конечно, раскладывать до упора не обязательно.