Предельный переход под знаком несобственного интеграла

ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ | skoro.info

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Предельный переход под знаком интеграла. Обращаемся теперь к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, ограничиваясь вначале случаем . Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду. сящих от параметра, вывод классических несобственных интегралов, эйлеровы . предельного перехода под знаком собственного и несобственного. Определения. Понятие сходимости несобственных интегралов. ∞. ∫ a f(x)dx , b. ∫ a знака Коши: b2. ∫ b1 dx. 1+(x − y)2 e. −y yx−1dy чтд. 3) Осталось проследить последний предельный переход: lim n→∞ n.

Снова интегрируем по частям отрезок интеграла: Тогда для правой части равенства можно записать: Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной. Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d. Интеграл от функции f сходится. Из неотрицательности переменных, следует, что g, семейство функций ограничено.

По признаку Абеля, интеграл I сходится равномерно.

Научный форум dxdy

Связь теорий несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра, и функциональных рядов. Знание этой связи значительно упрощает доказательство дальнейших утверждений, относящихся к несобственным интегралам, зависящим от параметра, сводя их к известным фактам теории функциональных рядов.

По определению Гейне, достаточно изучать случаи всех последовательностей Введем обозначение: Если же при всех и д. Свойства несобственных интегралов -го рода, зависящих от параметра. Пусть f, g.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;,d ] ; при любом семейство функций f, g при равномерно относительно на каждом отрезке [,] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл g d сходится и можно переходить к пределу под знаком интеграла.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Пусть функция f, определена и непрерывна в полуполосе [, ;, d ] ; интеграл f, d сходится равномерно относительно параметра [, d ]. Тогда интеграл I непрерывен. По теореме 2 для определенного интеграла, функции n непрерывны. По теореме 2 для функционального ряда, его сумма I непрерывна.

При выполнении условий теоремы 2 можно менять порядок повторного интегрирования. Доказательство утверждения основано на теоремах об интегрировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда. Пусть функция f, определена и непрерывна по в полуполосе [, ;, d ] ; частная производная f, непрерывна; интеграл f, d сходится; интеграл f, d сходится равномерно.

Тогда интегрирование под знаком интеграла. Доказательство основано на теоремах о дифференцировании определенного интеграла, зависящего от параметра, и функционального ряда. Приведенные теоремы используются, в частности, при вычислении определенных и несобственных интегралов, зависящих и не зависящих от параметра.

Несобственные интегралы , зависящие от параметра

Поскольку найти непосредственно интеграл довольно сложно, попробуем найти его производную. Для этого поместим произвольный фиксированный параметр в отрезок [,d ], d. Проверим выполнение условий теоремы 4. В заключение приведем несколько утверждений о поведении несобственного интеграла 2-го рода, зависящего от параметра.

Интеграл равномерно сходящимся на множестве Y, если f, d с особой точкой а будем называть: Критерий Коши равномерной сходимости.

Семинар 7: Решение задач. Несобственные интегралы 1-го рода

Интеграл точкой а будет равномерно сходится на множестве Y, если: Если при Y, f, g, интеграл g d, то f, d сходится абсолютно и равномерно на Y. Как и для интегралов -го рода, для указанных интегралов можно сформулировать аналоги теорем Дирихле, Абеля и теорем -4 о свойствах непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.

Х, где Х и Х означают множества значений, принимаемых порознь х и у, причем Х имеет своей точкой сгущения конечное число. Пусть имеет место равномерная сходимость. Заменив в определении е на и соответственно выбрав д, возьмем теперь два значения у и у? Тогда будем иметь, каково бы ни было х, f x,y? Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции 2.

Переходя затем к пределу в неравенстве 4 при у? Этим установлено равномерное стремление функции f x,y к предельной функции ц х. Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х. Интегрируемость предельной функции уже известна. Формула 9 может быть записана в виде: При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.