Предельный переход под знаком интеграла примеры

математический-анализ / Предельный переход под знаком интеграла / Математика

предельный переход под знаком интеграла примеры

Примеры и вспомогательные утверждения. Вопрос о возможности предельного перехода под знаком интеграла — один из важнейших в анализе. Предельный переход под знаком интеграла. Обращаемся теперь к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, Примеры и дополнения. имеет место предельный переход под знаком интеграла Лебега, т.е. lim (x ) . Привести пример последовательности интегрируемых на множестве Е.

В частности, может совпадать со всем X, тогда получим три вида сходимости на X. Ясно, что из равномерной сходимости последовательности следует поточечная сходимость, а из нее сходимость почти всюду, то есть самым слабым видом сходимости из этих трех видов является сходимость почти всюду.

предельный переход под знаком интеграла примеры

Замечательным свойством интеграла Лебега, порожденного мерой, является возможность предельного перехода даже в случае самой слабой сходимости сходимости почти всюду. Тогда предельная функция интегрируема на и имеет место предельный переход под знаком интеграла Лебега, то есть lim x d x lim x d x x d x. Эту теорему также называют теоремой Лебега о мажорированной сходимости.

предельный переход под знаком интеграла примеры

Теорема Лебега о монотонной сходимости теорема лабораторной работы также является теоремой о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Тогда функция x lim x является интегрируемой на и lim x d x lim x d x. Тогда если существует такое положительное число M, что 5 3 x d x. M для всех N, то почти всюду на существует конечный предел lim x xфункция интегрируема на и x d x lim x d x.

З а д а ч и В задачах 3 рассматривается только линейная мера Лебега. Вычислим предел для остальных точек рассматриваемого отрезка: Так как линейная мера Лебега множества [0,] Q равна нулю, то множество точек, в которых последовательность не сходится к нулю на отрезке [0,], имеет меру нуль. Проверить выполнение условий теоремы Лебега о монотонной сходимости и теоремы Б. Леви для последовательности функцийзаданных на отрезке [0,].

4. Предельный переход под знаком интеграла

Можно ли утверждать, что 5 5 lim x dx lim x dx? Ясно, что 0 при [0,]. Проверим, является ли последовательность монотонной. Проверим выполнимость условий теоремы Б. В силу аддитивности интеграла имеем I x dx dx dx [ 0, ] [ 0, ] ], ] 3.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА - PDF

Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия. В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций полных вариаций, если функции множества аддитивны. Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Научный форум dxdy

Далее — некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы.

В диссертации доказаны следующие теоремы. Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества. Ранее аналогичный критерий был получен В. Это является существенным недостатком теоремы Климкина. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия.

С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Построен контрпример пример 1. Также построен контрпример пример 1. В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина. Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X. Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo и принимают на пустом множестве значение 0. Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности Теорема 2.

Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.

Александров показал, что в любом некомпактном нормальном сг-топологическом пространстве существует регулярная скалярная конечная аддитивная исчерпывающая функция множества, которая не является счётно-аддитивной, то есть не обладает свойством непрерывности сверху на пустом множестве. В работе [37] А. Саженков дал положительный ответ па поставленный вопрос: В работе [31] В.

Климкин указал довольно широкий класс неаддитивных функций множества, для которых из регулярности и непрерывности сверху на пустом множестве следует исчерпываемость. Особо следует отметить случай боре левею IX мер. В работе [40] Дьедонне доказал теорему: Пусть Ф —- семейство конечных регулярных борелевских мер на сг-кольце борелевских множеств компактного хаусдорфова топологического пространства.

4. Предельный переход под знаком интеграла

Если меры семейства Ф являются равномерно исчерпывающими на классе открытых множеств, то они равномерно непрерывны. В работе [46] А.

предельный переход под знаком интеграла примеры

В диссертации результат В. Климкина [31] обобщается на случай семейств функций множества. Назовём пару Х,т сг-топологическим пространством, если X — некоторое множество, г С.